Introduction to basic conception

The Continuum of Numbers

首先，自然数可以认为是与生俱来的，但是普通的四则运算所产生的结果却不一定是自然运算，比如$1 - 1 = 0$ , $1 - 2 = -1$ , $1\div2 =\frac{1}{2}$都产生了结果不是自然数的情况。为了满足四则运算能更方便的使用，便引入了$0$ 、分数和负数，即有理数。

有理数的引入使得四则运算的适用范围更广，但有理数是否就能表示生活中所有能见到的物体的度量呢？答案是否定的，比如两个直角边都为1的直角三角形，根据毕达哥拉斯定理，其斜边的平方为$c^2 = 1^2 + 1^2$，但我们无法找到一个有理数，使得其平方为$2$，所以，有理数并不能满足所有的计算。

Real Number and Nested Interval

现在我们用数轴上的点来当作Continuum of Numbers的基本元素，其中每个点都对应一个实数x, 实数之间的大小关系就是其在数轴上的位置关系，比如x在y左边则$x < y$.

我们已经知道有理数可以用两个整数p和q的商$\frac{p}{q}$来定义，那该如何用已知的有理数或者自然数来定义无理数呢？数学中常用的一种做法是渐进，即找一个无限接近目标的序列，其项数越多，误差就越小。为了取得无理数x的渐进值，我们需要从两边同时靠近它(只考虑一边的话便没有终止条件)，即在其他左右两边各取一个有理数，比如$a_1$和$b_1$, 且$a_1 < x$,$b_1 > x$, 这样，就选取了一个包含x的区间$[a_1, b_1]$。然后，将$[a_1, b_1]$对半分，取其中包含x的区间$[a_2, b_2]$，则$a_1 \le a_2 < x$, $x < b_2 \le b_1$。同样的，我们可以继续二分$[a_2, b_2]$，并不断重复下去，则可以得到任意个包含x的区间，且$[a_n, b_n]$包含于$[a_{n+1}, b_{n+1}]$，我们称这样一个区间序列为**嵌套区间** 。很显然，每个区间与x的误差不超过$|b_n - a_n|$。

小数

在前面的嵌套区间中，$a_n < x < b_n$。现在将数轴按以1为单位标记，然后将每个单位长度区间10等分。假设$0 \le x \le 1$，且x肯定在$[0, 1]$区间10等分后的某个小区间中，假设为$[\frac{a_1}{10},\frac{b_1}{10}]$，则$\frac{a_1}{10} \le x \le \frac{b_1}{10}$。接下来将$[\frac{a_1}{10}, \frac{b_1}{10}]$继续10等分，则会有

$\frac{a_1}{10} + \frac{a_2}{100} \le x \le \frac{b_1}{10} + \frac{b_2}{100}$，如此一直重复下去，则有

$$\frac{a_1}{10} + \frac{a_2}{100} + \dots + \frac{a_n}{10^n} \le x \le \frac{b_1}{10} + \frac{b_2}{100} + \dots + \frac{b_n}{10^n}$$

为了方便，我们将其表示为$0.a_1a_2…a_n \le x \le 0.b_1b_2…b_n$，这种形式成为小数。

不等式

三角不等式

对于任意实数a和b,有

$$|a+b| \le |a| + |b|$$

Cauchy-Schwarz不等式

$$(a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2)$$

函数的概念

函数即为两个集合之间的映射。广义的函数，其集合可以是任何元素，但在本书中，我们只关心由实数组成的各种集合。

定义域、值域和连续变量的函数

• 定义域(Domain)：自变量的集合
• 值域(Range)：因变量的集合

当函数的定义域是由一个或多个interval组成的时候，就成这个函数是连续变量的函数。

连续

函数的连续性，从直观上来看，就是当自变量x有很微小的变化时，对应的因变量$f(x)$也只有微小的变化，不会出现断点。用更形式化的语言来描述的话，就是：

如果函数f在$x_0$出连续，则对于任意的正实数$\epsilon > 0$，都能找到相应的$\delta > 0$，使得当$|x - x_0| < \delta$时，都有$|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$

当然，认可上面的定义的前提是接受无穷小这个概念。

一致连续

在连续的形式化证明中，对于任意的$\epsilon > 0$，如果能找到$\delta = \delta(\epsilon)$，即$\delta$的选取与$x_0$无关，则称$f$为一致连续。不难得知，连续函数在闭区间上肯定是一致连续的。

Lispchitz连续

在一致连续的前提下，如果$\delta$ 与$\epsilon$成线性关系，就是Lispchitz连续

Holder连续

在一致连续的前提下，如果$\delta$与$\epsilon^a$, $0 < a \le 1$成线性关系，则为Holder连续

中值定理

假设$f$在某一区间中连续，a,b是区间中的两点，且$a < b $，则对于任一$\eta$，其值在$f(a)$和$f(b)$之间，那么有$a < \xi < b$，使得$f(\xi) = \eta$

初等函数

初等函数包含一系列简单的函数和几个常见的超越函数：

• 有理函数
• 代数函数
• 三角函数
• 指数函数
• 对数函数
• 复合函数

数学推导

数学推导法来自于自然数，即这样一个概念：

对于集合$S$, 有如下几个条件：

• 1 存在与$S$中
• 如果 正整数$x$存在于$S$中，则$x+1$也存在于$S$中

则$S$包含了所有的自然数

序列的极限

几何级数

即等比数列的和

极限的深入讨论

• 发散：即极限趋于无穷大
• 收敛：即极限趋于某一个固定的值$X$，或者将序列中的元素减去$X$后，趋于无穷

极限的有理运算

对于有理数的四则运算，极限也同样适用。

连续变量函数的极限

对于连续函数$f$在$x_0$处的极限，可以当作是在$f$的定义域中，任意以$x_0$为极限的序列，如$x_1,x_2,\dots,x_n,\dots$，有如下关系：

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{i \to \infty} f(x_i)$$