有理数的可数性

虽然知道了有理数集是可数的，但一直都不知道该如何定义一个有理数序列，使得每个有理数都在其中出现至少一次。今天看书的时候了解到了一种构造方法，所以记录一下。

有理数的可数性证明

众所周知，有理数都可以写成$ \frac{p}{q} $的形式，其中p和q都是自然数。对于一个大于1的正整数x，将x表示为$x=p + q$共有$x-1$种表示 方式。对于所有的$x=2,3,4,\dots$，我们将p和q构造成分数$\frac{p}{q}$，并按照p从小到大排列，则可以得到如下序列(忽略p和q有大于1的公因数的情况)：

$$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{1},\frac{3}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1},\frac{1}{5},\frac{5}{1},\frac{1}{6},\frac{2}{5}\dots$$

或许从这里还看不出这个序列已经包含了所有大于0的有理数，那么可以看如下的规律：

对于$p=1,2,3,4,\dots$，其分母都包括了所有的自然数。对于负有理数，vice versa.